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【区块链与密码学】第6-4讲:椭圆曲线的数字签名算法
1985年,Koblitz和Miller独立地提出了椭圆曲线公钥密码体制(ECC),安全性基于椭圆曲线群上的离散对数问题的难解性,该问题目前最好的解法是指数级时间的算法。
一般认为,RSA和DH密钥交换协议需用1024比特以上的模数才安全,但对ECC,只要160比特的模数就可达到同样级别的安全性。
椭圆曲线指的是由Weierstrass方程
所确定的曲线
有限域Fp上的椭圆曲线是由满足Fp上的方程
的所有点和无穷远点 O 构成的集合
有时也记作 E。
设 P , Q 是E上的任意两点,连接 P , Q 交 E 于 R’ ,则称 R’ 关于x轴的对称点 R 为 P 与 Q 的和,记为:
P + Q = R
当 P 与 Q 重合时
R = P+Q = P+P = 2P
此时称之为 点倍运算
当 P 与 Q 关于x轴对称时,
定义 P 与 Q 的和为 O ,即:
P + Q = O
并称 O 为无穷远点
可以证明,有限域上的椭圆曲线在我们定义的加法运算下构成群。
既然构成群,就必然有零元和负元,这里的零元就为无穷远点 O , P 的负元就是它关于x轴的对称点,记为 –P 。
显然有
P+O =O+P=P
若P=(x, y),则 –P=(x, –y) 且 P+(–P)=O
已知 E(F) 上两点 P=(x1, y1), Q=(x2, y2) , 求 P+Q 。
解:设 P+Q=R =(x3, y3) ,
解得
当 P≠Q 时,
当 P=Q 时,
k(k2) 个相同的点 P 相加为
此时称之为点乘运算
设
称n为点 P 的阶,记为 n=ord(P) 。
由阶为n的点 P 在上述加法定义下生成的循环群 P 是椭圆曲线群 (E(F), +) 的一个n阶子群。
设E是有限域 F 上的椭圆曲线, G 是 E 的一个循环子群,点 P 是 G 的一个生成元,即 G={kP: k≥1}, 在已知 P , Q 的条件下,求解整数n,使得 nP=Q 的问题,称为椭圆曲线 E 上的离散对数问题。
今天的课程就到这里啦,下一堂课我们将学习基于椭圆曲线的数字签名算法中的SM2算法,带大家继续了解数字签名,敬请期待!
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【区块链与密码学】课堂回顾:
区块链与密码学系列文章合集
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